確率分布

2012年06月07日

QC検定試験対策で勉強している「確率の考え方」が身についていますか?

今回は、QC検定試験の科目の一つである「確率」について記述します。

当時の菅首相が浜岡原発の運転停止を決めた要因として、
政府の地震調査本部の発表
「浜岡原発下で発生すると想定される東海地震の発生確率は、今後30年以内で87%」
だと言われています。

この数字だけをみると、ほとんどの人が、まずいと思われ、
菅首相の判断が適切だと思われますよね。

しかし、確率として考えた場合
1年間で地震が発生する確率をPとすると、
1年間で絶対に地震が起こらない確率は1−P。
1年目に起こらない、2年目も起こらない、3年目も起こらない・・・・・・・・となって、30年間ずっと起らない確率は
(1−P)の連続する積になるので、(1−P)の30乗。
従って
(1−P)の30乗=1−0.87=0.13より
計算すると、P≒0.066となり、約6.6%となります。

1年以内に地震が起こる確率は約6.6%となりますから、最初の87%の数値と比較すると、えらく印象が違うと思いませんか?

87%という数字に惑わされて、すぐ起るというふうに勘違いする人が多いと思います。数字に煽られないためにも、折角QC検定試験で確率の勉強もするのですから、このような知識も身につけたいものです。


参考書籍
「数学を知らずに経済を語るな」:高橋洋一





山田ジョージ at 09:15|Permalink

2011年04月20日

確率の基本「積の法則」とは?

今日は、前回に引き続き、確率の「積の法則」についての内容です。

例題
サイコロを1個、100円硬貨を1枚投げる時、サイコロが「3」の目が出て、100硬貨が「表」のなる確率は?

解説
サイコロの3の目がでる確率*100円硬貨が表になる確率
=1/6*1/2=1/12
となります。

複数のことが同時に起こる確率は、かけ算をかけていくことで値が小さくなることですね。

前回の和の法則で計算する方がいますが、1/6+1/2=4/6
これは間違いですので、下記の点に注意してください。

確率で計算するとここでの注意すべきことは、「積の法則」と「和の法則」を混同しないようにすることが大切です。

和の法則:同じ試行において、同時に起こりえない別の事象のいずれかが起こる確率

積の法則:異なる試行において、2つの事象がともに起こる確率


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山田ジョージ at 06:55|Permalink

2011年04月19日

確率の基本「和の法則」とは?

A、Bが同時に起こらない時「AまたはB」になる確率は「Aの確率」+「Bの確率」となることの説明です。

例題
サイコロを2個ふって、出た目の和が「3の倍数」になる確率はいくらでしょうか?

サイコロ2個を振った時は6*6=36通りです。

3の倍数とは、2個の目の和が3、6、9、12の4種類です。

・目の和が3となる場合は(A:2、B:1)(A:1、B:2)の2通りです。
・目の和が6となる場合は(A:1、B:5)(A:2、B:4)(A:3、B:3)(A:5、B:1)(A:4、B:2)の5通りです。
・目の和が9となる場合は(A:3、B:6)(A:4、B:5)(A:5、B:4)(A:6、B:3)の4通りです。
・目の和が12となる場合は(A:6、B6)の1通りです。

よって
出た目の和が「3の倍数」になる確率=2/36+5/36+4/36+1/36=12/36
となります。

1つの試行で起こりうるいくつかの事象のういち、同時に起こることがない2つの事象AとBがあるとすると「AまたはB」がおこる確率はAの確率とBの確率を足し算すればいいのです。
このことを確率の「和の法則」といいます。

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山田ジョージ at 05:15|Permalink

2011年04月16日

確率の基本である「順列」と「組み合わせ」の考え方をマスターしよう。

今回は、「順列」と「組み合わせ」について説明します。

順列は次の様に表します。
nPr→n個の中からr個取り出して並べる時の場合の数

例えば、:チューリップ、:りんご、:さくらんぼ、:バナナがあるとして、それから3つ取り出して並べることを考えるとします。
    の中から3つ取り出し、選んだ物を( )に入れとします。
→( ) ( ) ( )

先ず一番左に、これら4種類の中から1つを選びます。この場合の数は4通りです。
次に真ん中に、残り3種類の中から1つ選びます。この場合の数は3通りです。
最後に一番右に、残り2種類の中から1つ選びます。この場合の数は2通りです。
よって、4*3*2=24(通り)  となります。

順列で表すと4P3=4*3*2=24


次に、4種類の物から3個取り出す場合は何通りあるのでしょうか?
仮に、4つの中から、  を選んだとすると、下記の様になります。
) () (
) () (
) () (
) () (
) () (
) () (
上記は結果的に同じことなので、これら6通りの選び方を1通りと考える必要があります。
よって
24/6=4通りとなります。

組み合わせで表すと 4C3=4*3*2/3*2*1=4

組み合わせは次の様に表します。

nCr→n個の中からr個取り出す時の場合の数

「取り出して並べる」のと「取り出す」だけでは計算方法が違うということです。

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山田ジョージ at 15:15|Permalink

2010年03月07日

測定誤差の「かたより」「ばらつき」とは!?

昨日2級セミナーを終えることができました。参加されましたみなさんお疲れ様でした。遠路から参加のFさん、道中気を付けてお帰りください。また、eラーニングの受講者でもあるMさん、積極的な発言などで場を盛り上げていただきまして、ありがとうございました。
QC検定セミナー

今回都合により3級のセミナーを開催できず、申し込まれた方に対してお詫びいたします。申し訳ありませんでした。

さて、いよいよ試験まで2週間前となりました。最も集中力が発揮できる時期です。限られた時間を有効に使うために
・思い立ったらすぐとりかかる。
・1分、2分でも集中してやる。
をお勧めいたします。

そして、受験するみなさんはもう目の前まで迫ってきている感覚でしょう。最後の1点を取りに行く気構えが必要です。この執着力の高い気持ちこそが、いざというときに合否の結果を左右することになるのではないでしょうか。

3月21日までの期間限定で3級の予想問題集を無料にて提供いたします。
出題される可能性の高い
測定誤差の「かたより」「ばらつき」の違いを記載しておりますので、これを読んでライバルに差をつけましょう。
申し込みは続きからです。続きを読む



山田ジョージ at 06:08|Permalink

2009年11月07日

共分散(QC検定1級問題)

9月に実施された1級問題の【問1】では期待値、分散、共分散を求める問題が出題されました。
期待値、分散を求める問題は下記の期待値、分散の性質を理解していれば容易に正解できる内容でありました。
期待値については
E(ax+by)=aE(x)+bE(y) となります。
分散については(xとyが独立した変数)
V(ax+by)=aの2乗V(x)+bの2乗V(y) となります。

共分散、相関係数を求める問題は共分散を解らないと、相関係数が算出できない内容でした。
ここで共分散とは
2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値となります。詳しくはここです。共分散
共分散 Cov(x,y)を式に表すと
Cov(x,y)=1/n((x-xbar)(y-ybar))となります。
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがポイント
Cov(x,y)=1/n(xy)-xbar*ybar
期待値で表現すると
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
分散は
σ=1/n(x-xbar)2乗
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがポイント
▽=E(xの2乗)-(E(x))の2乗
期待値の性質でxとyが独立した変数ならば
E(xy)=E(x)E(y)   となります。

ここで1級試験出題された
x=2x1+x2, y=4x1-2x3を代入すると
E(xy)=E[(2x1+x2)(4x1-2x3)]
E(xy)=8E(x1の2乗)-4E(x1x3)+8E(x1x2)-2E(x2x3)
と展開できます。
ここに上記に記述しました ↓◆↓の性質をあてはめますと
E(xy)=8σの2乗+6μの2乗  となります。
また
E(x)E(y)=6μの2乗  となります。
よって共分散
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)=8σの2乗  となります。
相関係数rは
r=共分散/√(xの分散*yの分散)  となることより
xの分散=5σの2乗
yの分散=20σの2乗     となります。
よって
相関係数r=8σの2乗 /10σの2乗=0.80

今回は共分散を求める問題で戸惑った受験生もかなりおられたのではないでしょうか?
上記での ↓⊆阿鯑海考え方を理解されていないと難度が高い問題だったかと思います。
ただ単に式を覚えていても、試験では応用することは難しいと思われます。一つひとつの公式を組み合わせて正解に導くことが重要であります。
ゞκ散=平均からの偏差の積の平均値
∧散=データ平方の平均−データ平均値の平方
について理解できない方にはわかりやすく解説した資料を作成しましたのでこちらからお申し込みください。
2009年9月QC検定1級解説書

またあわせて2009年3月実施の1級QC検定解説書の申し込みもこちらからです。現時点ではここにしかありませんので、QC検定1級を受験する方にお勧めいたします。
2009年3月QC検定1級解説書続きを読む



山田ジョージ at 10:16|Permalink

2009年10月31日

標準正規分布とは

過去にこのブログの記事で
標準正規分布に置換することを標準化=規準化すると説明をしましたが、読者の方より
「標準化という言葉自体は多くの意味を含んでいる為、解釈が難しい。正規分布の変換なら標準化ではなく規格化という表現もあるのでは?」との質問を受けました。

このような方はこれまで、QCサークルを主体に経験を積み重ねてこられた方で、QCストリーの中での歯止め=標準化を思い出すよう人であると推察されます。

これから2級にチャレンジする人は正規分布を正しく理解することは必須な項目でありますので再度記載しますので参考にしてください。

(参考)
QC検定の基礎となる正規分布について

中心極限の定理とは
母集団が正規分布、一様分布、二項分布などどのような分布を
していても、標本が十分大きければ、次のようなことが成り立つと言われています。
「母平均m、母分散σの母集団から大きさnの標本をランダムに
抽出したとき、このnが十分大きければ、母集団の従う確率分布に
関係なく、標本平均は期待値m、分散σ/nの
正規分布N(m、σ/n)に従うとみなすことができる」
と言う事です。

正規分布とに従うとわかれば標準化ですね。
正規分布曲線は期待値μと分散σによって位置や形が変わるので、確率(=面積)を直接求めることは難しいので、
そこでμやσによらない方法で確率を求めるために次のように
XをZに置き換えてみると
X→Z=(X−μ)/√σ

このとき置き換えたZも確率変数となってきます。
確率変数Zは期待値=0、分散=1の正規分布に従うと言われています。
このような正規分布N(0、1)を標準正規分布と言われています。

また、μやσがどんな値であっても、上記の式に置き換えれば、
どんな正規分布でもからなず標準正規分布に置き換えられます。
このことを標準化=規準化といいます。

さらにN(0、1)は正規分布表としてまとめられてあるので、
容易に、確率を求めることができます。(正規分布表は省略)

QC検定2級以上を受験する人は、この標準化の置換することを
知っていることが大事です。

これまで、QCサークルを主体に経験を重ねてこられた方で
標準化と聞いてQCストリーの中での歯止め=標準化だけを思い出すようではもう少し統計の勉強し、統計リテラシーを高める必要がありますね。

そんな人のためにのコースです。
計算問題、統計が苦手な人など参考になればと思います。
QC検定2級eラーニングコース





山田ジョージ at 09:31|Permalink

2008年10月23日

QC検定の基礎となる正規分布について

QC検定の基礎となる正規分布について

中心極限の定理とは
母集団が正規分布、一様分布、二項分布などどのような分布を
していても、標本が十分大きければ、次のようなことが成り立つと言われています。
「母平均m、母分散σの母集団から大きさnの標本をランダムに
抽出したとき、このnが十分大きければ、母集団の従う確率分布に
関係なく、標本平均は期待値m、分散σ/nの
正規分布N(m、σ/n)に従うとみなすことができる」
と言う事です。

正規分布とに従うとわかれば標準化ですね。
正規分布曲線は期待値μと分散σによって位置や形が変わるので、確率(=面積)を直接求めることは難しいので、
そこでμやσによらない方法で確率を求めるために次のように
XをZに置き換えてみると
X→Z=(X−μ)/√σ

このとき置き換えたZも確率変数となってきます。
確率変数Zは期待値=0、分散=1の正規分布に従うと言われています。
このような正規分布N(0、1)を標準正規分布と言われています。

また、μやσがどんな値であっても、上記の式に置き換えれば、
どんな正規分布でもからなず標準正規分布に置き換えられます。
このことを標準化=規準化といいます。

さらにN(0、1)は正規分布表としてまとめられてあるので、
容易に、確率を求めることができます。(正規分布表は省略)

QC検定2級以上を受験する人は、この標準化の置換することを
知っていることが大事です。

これまで、QCサークルを主体に経験を重ねてこられた方で
標準化と聞いてQCストリーの中での歯止め=標準化を思い出すようではもう少し統計の勉強をする必要がありますね。

そんな人のために無料レポートを作成しました。
計算問題、統計が苦手な人など参考になればと思います。
QC検定2級計算問題解説





山田ジョージ at 14:36|PermalinkComments(2)TrackBack(0)

2008年09月25日

QC検定で勉強したことが役立つか?

偏差値と正規分布 1957年頃に教え子の進学指導を科学的にできないものかと との思いから、中学の教諭によって考案されたとあります。
偏差値は、一人ひとりの試験の得点に応じて 偏差値=10*(得点−平均点)/標準偏差+50 の定義式で計算される。
この定義式は、得点分布が正規分布に 従うという前提のもとで考え出されたと言われています。
正規分布の性質を使えば、偏差値をもとに、一人ひとりの得点が 全体の中でどのくらいの位置にいるのか知ることができるという 訳であります。
ところが、今では偏差値は学校等のレベルを表す傾向が強く なってきて、昨今は下記のように表現されているようなことが多く あるように思います。 あそこの高校は偏差値○○だとか。 難関大学合格には偏差値は××だとダメだとか。 偏差値別大学合格一覧とか。
詳しくはここから 偏差値について



山田ジョージ at 17:30|PermalinkComments(0)TrackBack(0)

2008年09月24日

QC検定で勉強したことが社会で役立つか?

統計的な考え方の基本は確率です。
この確率の考え方が身近なことに適用できるのか 事例を交えて紹介します。
福引や会社内でのくじなどで、先に引いた方が有利か、後で引いた方が有利か、 一度は考えたことがあると思います。
 先手必勝と考える方、後で引いた方が確率が高まると考える方など さまざまだと思います。
ここで、折角勉強してきた 確率を使って、どっちが有利なのか検証してみましょう。

わかりやすいように、玉は3つとします。当たり玉は1つ。はずれ玉は2つです。 3人が順番に袋に入った玉を引いて、戻さないやり方です。
〆能蕕謀たり玉をひく人の確率は3分の1です。  これは問題ないと思いますので。  
では
 ■家嵬椶謀たり玉をひく確率は、どう考えたら良いでしょうか。  2番目の人が当たり玉を引くには、  1番目の人がはずれを引いて、そして 2番目の人が当たり玉を引くことです。  
以上から、  
2番目の人が当たり玉を引く確率は、  2/3 × 1/2 = 1/3 ということになります。  
同じように
3番目に当たり玉をひく確率は  1番目の人が外れを引いて、そして2番目の人も外れを引く必要があります。  これは2/3*1/2*1/1=1/3  となります。  
つまり、福引やくじ等、先に引いても、後に引いても、有利不利はないということです。  
だから会社等で何かの抽選があったときは、運を天に任せて、  ためらいなく抽選しましょうね。



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2008年08月12日

確率分布の考え方

QC検定1、2級受験者のみなさんへ

◆確率分布の考え方
母集団の分布の形を決める定数を母数と呼ぶ。

正規分布に従う母集団の場合は、母平均μ、母分散σの2乗のことを言う。
一般的に、母集団が母平均μ、母標準偏差σの正規分布する場合、この母集団からランダムに抜き取られた大きさnのサンプルxbarの分布は平均μ、標準偏差σ/√nの正規分布に従う。

従って、このサンプルの大きさnを限りなく大きくすると、標準偏差(分散)は限りなく小さくなる。このことを大数の法則という。

代表的な分布に下記が上げられます。
二項分布
p(x)=nCx*pのx乗*qのn−x乗と表すことができる。
ただし、q=1−p   (x=0、1,2、・・・・・n)

正規分布
N(μ、σの2乗)で表すことができる。
u=(x−μ)/σは標準正規分布N(0、1)に従う。
これを利用した問題が過去出題されています。

また、「やさしいと確率分布の考え方」をレポートとしてまとめました。

【記載内容】
1.確率とは
2.確率の性質
3.確率分布
4.確率分布の種類
 (1)正規分布
 (2)二項分布

やさしいと確率分布の考え方」を無料配布いたします。

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「やさしいと確率分布の考え方」のレポートを送ります。
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山田ジョージ at 12:32|Permalink