2009年11月07日

共分散(QC検定1級問題)

9月に実施された1級問題の【問1】では期待値、分散、共分散を求める問題が出題されました。
期待値、分散を求める問題は下記の期待値、分散の性質を理解していれば容易に正解できる内容でありました。
期待値については
E(ax+by)=aE(x)+bE(y) となります。
分散については(xとyが独立した変数)
V(ax+by)=aの2乗V(x)+bの2乗V(y) となります。

共分散、相関係数を求める問題は共分散を解らないと、相関係数が算出できない内容でした。
ここで共分散とは
2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値となります。詳しくはここです。共分散
共分散 Cov(x,y)を式に表すと
Cov(x,y)=1/n((x-xbar)(y-ybar))となります。
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがポイント
Cov(x,y)=1/n(xy)-xbar*ybar
期待値で表現すると
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
分散は
σ=1/n(x-xbar)2乗
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがポイント
▽=E(xの2乗)-(E(x))の2乗
期待値の性質でxとyが独立した変数ならば
E(xy)=E(x)E(y)   となります。

ここで1級試験出題された
x=2x1+x2, y=4x1-2x3を代入すると
E(xy)=E[(2x1+x2)(4x1-2x3)]
E(xy)=8E(x1の2乗)-4E(x1x3)+8E(x1x2)-2E(x2x3)
と展開できます。
ここに上記に記述しました ↓◆↓の性質をあてはめますと
E(xy)=8σの2乗+6μの2乗  となります。
また
E(x)E(y)=6μの2乗  となります。
よって共分散
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)=8σの2乗  となります。
相関係数rは
r=共分散/√(xの分散*yの分散)  となることより
xの分散=5σの2乗
yの分散=20σの2乗     となります。
よって
相関係数r=8σの2乗 /10σの2乗=0.80

今回は共分散を求める問題で戸惑った受験生もかなりおられたのではないでしょうか?
上記での ↓⊆阿鯑海考え方を理解されていないと難度が高い問題だったかと思います。
ただ単に式を覚えていても、試験では応用することは難しいと思われます。一つひとつの公式を組み合わせて正解に導くことが重要であります。
ゞκ散=平均からの偏差の積の平均値
∧散=データ平方の平均−データ平均値の平方
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山田ジョージ at 10:16│ QC検定1級 | 確率分布