2009年11月07日
共分散(ＱＣ検定１級問題）
９月に実施された１級問題の【問１】では期待値、分散、共分散を求める問題が出題されました。
期待値、分散を求める問題は下記の期待値、分散の性質を理解していれば容易に正解できる内容でありました。
期待値については
E(ax+by)=aE(x)+bE(y) となります。
分散については（xとyが独立した変数）
V(ax+by)=aの２乗V(x)+bの２乗V(y) となります。
共分散、相関係数を求める問題は共分散を解らないと、相関係数が算出できない内容でした。
ここで共分散とは
2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値となります。詳しくはここです。共分散
共分散 Cov(x,y)を式に表すと
Cov(x,y)=1/n(��(x-xbar)(y-ybar))となります。
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがﾎﾟｲﾝﾄ
Cov(x,y)=1/n(��xy)-xbar＊ybar
期待値で表現すると
��Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
分散は
σ=1/n��(x-xbar)２乗
これを展開すると（省略）←この過程を理解することがﾎﾟｲﾝﾄ
�▽�=E(xの２乗)-(E(x))の２乗
期待値の性質でxとyが独立した変数ならば
��E(xy)=E(x)E(y) となります。
ここで１級試験出題された
x=2x1+x2, y=4x1-2x3を代入すると
E(xy)=E[(2x1+x2)(4x1-2x3)]
E(xy)=8E(x1の2乗)-4E(x1x3)+8E(x1x2)-2E(x2x3)
と展開できます。
ここに上記に記述しました� ↓◆↓�の性質をあてはめますと
E(xy)=8σの２乗＋6μの２乗 となります。
また
E(x)E(y)=6μの２乗 となります。
よって共分散
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)=8σの２乗 となります。
相関係数rは
r=共分散／√（xの分散＊yの分散） となることより
xの分散=5σの２乗
yの分散=20σの２乗 となります。
よって
相関係数r=8σの２乗 /10σの２乗=0.80
今回は共分散を求める問題で戸惑った受験生もかなりおられたのではないでしょうか？
上記での� ↓⊆阿鯑海�考え方を理解されていないと難度が高い問題だったかと思います。
ただ単に式を覚えていても、試験では応用することは難しいと思われます。一つひとつの公式を組み合わせて正解に導くことが重要であります。
�ゞκ�散＝平均からの偏差の積の平均値
�∧�散＝データ平方の平均−データ平均値の平方
について理解できない方にはわかりやすく解説した資料を作成しましたのでこちらからお申し込みください。
２００９年９月ＱＣ検定１級解説書
またあわせて２００９年３月実施の１級ＱＣ検定解説書の申し込みもこちらからです。現時点ではここにしかありませんので、ＱＣ検定１級を受験する方にお勧めいたします。
２００９年３月ＱＣ検定１級解説書
期待値、分散を求める問題は下記の期待値、分散の性質を理解していれば容易に正解できる内容でありました。
期待値については
E(ax+by)=aE(x)+bE(y) となります。
分散については（xとyが独立した変数）
V(ax+by)=aの２乗V(x)+bの２乗V(y) となります。
共分散、相関係数を求める問題は共分散を解らないと、相関係数が算出できない内容でした。
ここで共分散とは
2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値となります。詳しくはここです。共分散
共分散 Cov(x,y)を式に表すと
Cov(x,y)=1/n(��(x-xbar)(y-ybar))となります。
これを展開すると(省略)←この過程を理解することがﾎﾟｲﾝﾄ
Cov(x,y)=1/n(��xy)-xbar＊ybar
期待値で表現すると
��Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)
分散は
σ=1/n��(x-xbar)２乗
これを展開すると（省略）←この過程を理解することがﾎﾟｲﾝﾄ
�▽�=E(xの２乗)-(E(x))の２乗
期待値の性質でxとyが独立した変数ならば
��E(xy)=E(x)E(y) となります。
ここで１級試験出題された
x=2x1+x2, y=4x1-2x3を代入すると
E(xy)=E[(2x1+x2)(4x1-2x3)]
E(xy)=8E(x1の2乗)-4E(x1x3)+8E(x1x2)-2E(x2x3)
と展開できます。
ここに上記に記述しました� ↓◆↓�の性質をあてはめますと
E(xy)=8σの２乗＋6μの２乗 となります。
また
E(x)E(y)=6μの２乗 となります。
よって共分散
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)=8σの２乗 となります。
相関係数rは
r=共分散／√（xの分散＊yの分散） となることより
xの分散=5σの２乗
yの分散=20σの２乗 となります。
よって
相関係数r=8σの２乗 /10σの２乗=0.80
今回は共分散を求める問題で戸惑った受験生もかなりおられたのではないでしょうか？
上記での� ↓⊆阿鯑海�考え方を理解されていないと難度が高い問題だったかと思います。
ただ単に式を覚えていても、試験では応用することは難しいと思われます。一つひとつの公式を組み合わせて正解に導くことが重要であります。
�ゞκ�散＝平均からの偏差の積の平均値
�∧�散＝データ平方の平均−データ平均値の平方
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